Weichzeichnen und Schärfen
Es soll nun mein Bild mit einfachen Mitteln der Bildbearbeitung verändert werden:
Zuerst wurde im Programm Gimp1 mit
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das Bild geglättet. Dazu wird eine Filtermatrix (siehe unten) angewendet, die ausgehend von einem Pixel P und weiterer Pixel in der Nähe von P, beziehungsweise deren Intensitäten, den neuen Intensitätswert für P berechnet. Der Gaußsche Weichzeichner2 gewichtet den Einfluss der einzelnen Intensitäten nach der Gaußschen Glockkenkurve, in der Zahlenebene also nach der Funktion
Teilt man das Ergebnis durch 2πδ², so erhält man eine Matrix deren Werte zusammen 1 ergeben. Beispielsweise ergibt sich für eine Standardabweichung (δ) von 1 somit die Formel:
Da die Bildebene aus Pixel besteht, wir uns auf einer diskreten Zahlenebene befinden, ergibt sich so diese Matrix in Abhängigkeit des Abstandes vom Zentralpixel P (Mittleres Feld), Werte angegeben in Prozent:
| 0 | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0 | 0 |
| 0 | 0,3 | 1,3 | 2,2 | 1,3 | 0,3 | 0 |
| 0,1 | 1,3 | 5,9 | 9,7 | 5,9 | 1,3 | 0,1 |
| 0,2 | 2,2 | 9,7 | 15,9 | 9,7 | 2,2 | 0,2 |
| 0,1 | 1,3 | 5,9 | 9,7 | 5,9 | 1,3 | 0,1 |
| 0 | 0,3 | 1,3 | 2,2 | 1,3 | 0,3 | 0 |
| 0 | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0 | 0 |
Wie zu sehen beeinflusst in diesem Fall das Pixel seinen Intensitätswert nach der Glättung zu ungefähr 16%. Horizontale oder vertikale Nachbarn noch zu immerhin fast 10%.
Will man einen größeren oder elliptischen Bereich mit einbeziehen, muss man die Formel etwas verändern. Wenn man die obige Matrix betrachtet, kann man festlegen dass Werte mit einem größeren Abstand vom Mittelpixel als 2 keine nennenswerte Rolle mehr spielen. Demnach hätte die Matrix dann den Radius 2. Ellipsen lassen sich dann vereinfacht durch die Formel
beschreiben.
Das folgende Applet wendet das bisher gezeigte auf eine Funktion an. Zur Auswahl stehen ein Rechtecksimpuls (scharfe Kanten), eine Sinusschwingung (eigentlich schon glatt) und eine durch Zufallszahlen mit einer einstellbaren Standardabweichung hervorgerufene Punktfolge. Bei Letzterer wird der vorherige Punkt als Ausgangspunkt für die Berechnung der y-Koordinate genommen, um einen zumindest etwas einheitlichen Graphen zu erzeugen. Um die Farbwerte der Pixel zu berechnen, muss JavaScript im Browser aktiviert sein. Farbwerte nach y-Koordinate der Punkte, 1 entspricht Weiß, -1 ist Schwarz; Falls durch Zufallszahlen höhere Werte entstehen sollten, wird die Skala dementsprechend angepasst, wie dann an den Markierungen -W(eiß) bzw. -S(chwarz) zu erkennen.
Download (6,9kB; .ggb; Geogebra-Version (Beta): 3.1.203.0)
Wird die (zweidimensionale )Filtermatrix dann auf jedes Pixel angewendet, so erhält man ein geglättetes Bild wie Dieses:
Diese geglättete Bild kann allerdings auch dazu benutzt werden, das ursprüngliche Bild zu schärfen. Diese Vorgehensweise ist unter Gimp im Filter
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zu einem Schritt zusammengefasst. Die einzelnen Schritte4 sollen hier dennoch zur Erläuterung aufgeführt werden. Man benötigt dreimal das Bild als Ebenen übereinander. Die Oberste wird wie oben weichgezeichnet und ihr «Modus» wird auf Abziehen gestellt. Dadurch werden die Intensitätsunterschiede zwischen dem Original und der Weichzeichnung dargestellt - also die vorher geglätteten Kanten:
Die oberen Ebene werden zusammengefasst. Addiert (Ebenen-Modus: Addition) man nun diese Intensität (die weißen Stellen) auf das Ursprungsbild (unterste Ebene), so werden die Kanten mehr hervorgehoben. Die letzten beiden Ebenen werden zusammengefügt und das scharfgezeichnete Bild ist fertig:
Es ist allerdings deutlich schwerer ein Bild zu schärfen, als es zu verwischen. Trotzdem kann man im direkten Vergleich einige Unterschiede merken:
Grundlagen der Bildverarbeitung
Nicht zu verwechseln mit der Bildbearbeitung , der Veränderung eines Bildes durch gezieltes Einwirken auf Grund optischer Eindrücke, eine Tätigkeit von Designern und Fotokünstler. Anders die Bildverarbeitung , bei der ein Bild oder Ausschnitte davon einem Algorithmus übergeben werden der das Bild als die Zahlen sieht, als die es gespeichert ist5.
Ein Beispiel für die Bildbearbeitung ist ein Filter, der die Intensitätswerte von nahen Pixeln zur Berechnung eines neuen Wertes benutzt. Im oberen Teil dieser Seite wurde bereits eine solche Filtermatrix benutzt um ein Bild zu glätten, es können allerdings auch andere Operationen damit durchgeführt werden.
So wird auch ein ähnliches Verfahren beim Anti-Aliasing von Computergrafiken angewandt. Wird bei der Umwandlung eines analogen in ein diskretes Signal (mittels Fourieranalyse) das Abtasttheorem von Shannon nicht eingehalten, so können die einzelnen Spektren sich überlappen, was eine Rekonstruktion unmöglich macht (Aliasing )6.
Bei der Darstellung von Graphiken auf Monitoren tritt dieser Effekt auf, wenn harte Kanten «quer durch» einzelne Pixel laufen - Ein gezackter «Übergang» entsteht. Anti-aliasing schließlich aber benutzt die Farbwerte von nahen Pixel um eine Mischung zu berechnen, was die harten Kanten abrundet wie ein Glättungsfilter. Die verwischt zwar die Graphik etwas, naturgemäß sticht dies aber nicht so störend ins Auge wie die gezackte Kante.
Momentan wird in diesem Bereich die Methode des Supersampling vom sogenannten Multisampling abgelöst. Bei Erstem wird einfach ein n-mal so großes Bild erstellt wie letztendlich dargestellt werden soll und dann auf passende Größe verkleinert. Häufige Werte für "n" sind dabei 2 oder 4. Multisampling ist vom Prinzip her gleich aufgebaut, wenn allerdings ein zusätzlicher Pixel berechnet wurde, kann dieser auch von benachbarten Pixeln benutzt werden, was die Rechenzeit drastisch reduziert (ungefähr halbiert)7.
Harte Kanten lassen sich aber auch bewusst erzeugen oder erkennen, und nicht nur über das schon oben erwähnte Verfahren. Eine besondere Filtermatrix zu diesen Zwecke ist der Gradient, der im Prinzip so aufgebaut ist, auch wenn noch mehr Werte dazukommen können:
| -0.5 | 0 | 0.5 |
Diese Werte stellen nichts anderes als die erste Ableitung dar, bzw. deren Näherung mit Hilfe der Tangente. In diesem diskreten Fall somit die Sekante durch die beiden Nachbar-Pixel, wie die folgende Graphik verdeutlichen soll:
2)Darstellung des Gradienten
3)Steigungsdreieck - Ableitung
Je größer die Ableitung, umso stärker ist der Intensitätsabfall an dieser Stelle im Originalbild8. Diese einfache Matrix wird bereits vom sogenannten Sobel-Operator verwendet, der vor den Gradienten mit einer Glättung zusammen verwendet. Eine Variante multipliziert obigen Gradienten zum Beispiel noch mit der Matrix
| -1 | 0 | 1 | ||
| -2 | 0 | 2 | ||
| -1 | 0 | 1 |
Und Selbiges noch einmal für vertikale Nachbarn, mit um 90° gedrehten Matrizen.
Hingegen verwendet der Laplace-Operator9 die Krümmung, also die zweite Ableitung, welche sich zum Beispiel durch folgende Matrix ausdrücken lässt:
| 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | -4 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 |
Im Gegensatz dazu kann man den oben vorgestellten Weichzeichner auch als Integral interpretieren, denn der Mittelwert den er berechnet ist so auch in der Integralrechnung bekannt. Besonders bei einer einfachen Matrix in der Art von
| 1/3 | 1/3 | 1/3 |
kann man sich vorstellen, wie sich bei nahen Pixeln die Ober- und Untersumme der Funktion annähert, der arithmetisches Mittel schließlich den gesuchten Wert ergibt. Andere Matrizen schließlich legen nur eine andere Gewichtung der nahen Pixel fest.
Fresnel-Zonenplatte
Mit einer Fresnel-Zonenplatte können, wie mit einer Linse, Lichtwellen gebündelt werden10. In der abgebildeten Graphik wären die weißen Stellen durchlässig, während die schwarzen Ringe alles Licht absorbieren würden:
Fresnel-Zonenplatte
Schaut man sich die Platte genauer an, erkennt man neben den um den Mittelpunkt zentrierten Kreise auch weitere, besonders gut zu sehen sind jeweils einer rechts/links bzw. oben/unten in der Graphik. Die folgenden Bilder vergrößern jeweils um das Vierfache das Bild:
4x
16x
Besonders im letzten Bild ist zu sehen, dass die zusätzlichen Kreise aus dem schon oben beschriebenen Alias-Effekt herrühren: Es sind die Sprünge der Kanten der einzelnen Kreise. Weiterhin ist zu erkennen, dass dieser Effekt besonders stark am Rand der Zonenplatte auftritt, da hier die Linien der einzelnen Kreise besonders dünn sind. Sie sind sogar so dünn, dass sie das Abtasttheorem verletzen, nach dem für die Digitalisierung von Signalen (auch optischen) mehr als die doppelte Frequenz des Signales verwendet werden muss. Hiier bedeutet dies: Sobald die Kreise eine Dicke von zwei Pixel unterschreiten, werden sie nicht mehr richtig dargestellt.
Verkleinert man nun das Bild (hier von ca. 200x200 auf 50x50 Pixel), so kommt der genannte Effekt sehr stark zum tragen. Wie schon im vergrößerten Bild oben angedeutet, steigt die Bedeutung der zusätzlichen Ringe, während die eigentlichen Ringe unter das Abtasttheorem und damit wegfallen, wie in diesem Bild zu sehen:
Ursprüngliches Bild auf 50x50 und wieder zurück skaliert